$a>0$ を実数, $k\geq 1$ を整数とする. このとき, $$ \lim_{n\to\infty}n^ka^n = \begin{cases} \infty, & a \geq 1 \\ 0, & a < 1 \end{cases} $$ を証明せよ.
解答例 1
$a\geq 1$ のとき, $$ n^ka^n\geq n^k \to \infty \quad (n\to\infty). $$ $a<1$ のとき, $b=1/a$ とおくと, $b>1$ であるから, $$ \frac{1}{n^ka^n} = \frac{b^n}{n^k} \to \infty\quad (n\to\infty). $$ ゆえに, $n^ka^n\to 0$ ($n\to\infty)$.
最終更新日：2011年11月02日