解答例 1

まず, すべての番号 $n$ に対して $a_n>0$, $b_n>0$ であることが, $n$ に関する数学的帰納法によって証明できる. 実際, $a_0=a>0$, $b_0=b>0$ であり, 一般の番号 $n$ について, $$ a_n>0,\,b_n>0 \Longrightarrow a_{n+1}=\frac{a_n+b_n}{2}>0,\,b_{n+1}=\sqrt{a_nb_n}>0 $$ が成り立つ.

各 $n=0$, $1$, $2$, $\ldots$ に対して, 相加相乗平均の関係より, $$ b_n\leq a_n. $$ このとき, $a_n$ の定め方から, $$ a_{n+1}-a_n = \frac{b_n-a_n}{2} \leq 0. $$ すなわち, $$ a_{n+1}\leq a_n. $$ また, $b_n$ の定め方から, $$ b_{n+1}^2-b_n^2 = b_n(a_n-b_n). $$ $b_n>0$, $b_{n+1}>0$ であるから, $$ b_n\leq b_{n+1} $$ が得られる.

以上より, $$ b\leq b_1\leq b_2\leq \cdots\leq b_n\leq \cdots\leq a_n\leq\cdots\leq a_2\leq a_1\leq a. $$ $(a_n)$ は下に有界な単調減少数列, $(b_n)$ は上に有界な単調増加数列だから, ともに収束する. $(a_n)$, $(b_n)$ の極限値をそれぞれ $\alpha$, $\beta$ とおくと, $$ \alpha = \lim_{n\to\infty}a_{n+1} = \lim_{n\to\infty}\frac{a_n+b_n}{2} = \frac{\alpha+\beta}{2}. $$ これより, $\alpha=\beta$ が得られる.

最終更新日：2011年11月02日