[q201110241000]  $R$ を環, $M$, $M'$ を左 $R$ 加群, $f:M\rightarrow M'$ を $R$ 上の準同型写像, $L$ を $M$ の部分左 $R$ 加群とする. このとき, $f^{-1}(f(L))=L+\ker{f}$ が成り立つことを証明せよ.

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[q201110241100]  $R$ を環, $M$, $M'$ を左 $R$ 加群, $f:M\rightarrow M'$ を $R$ 上の全射準同型写像とする. また, $\Omega$ を $M$ の部分左 $R$ 加群で $\ker{f}$ を含むもの全体からなる集合族, $\Omega'$ を $M'$ の部分左 $R$ 加群全体からなる集合族とする. このとき, 写像 $$ \Phi:\Omega \longrightarrow \Omega',\qquad L\longmapsto f(L) $$ は全単射であり, $$ \Psi:\Omega'\longrightarrow \Omega,\qquad L'\longmapsto f^{-1}(L') $$ が $\Phi$ の逆写像である. このことを証明せよ.

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[q201110241200]  $R$ を環, $M$, $M'$ を左 $R$ 加群, $f:M\rightarrow M'$ を $R$ 上の全射準同型写像とする. $(L_{\lambda}\mid \lambda\in\Lambda)$ を $M$ の部分左 $R$ 加群からなる集合系とし, すべての $\lambda\in\Lambda$ に対して $\ker{f}\subseteq L_{\lambda}$ が成り立つとする. このとき, $$ f\left( \bigcap_{\lambda\in\Lambda}L_{\lambda} \right) = \bigcap_{\lambda\in\Lambda}f(L_{\lambda}) $$ であることを証明せよ.

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[q201110111500]  $R$ を環とするとき, 単純左 $R$ 加群は巡回加群であることを証明せよ.

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[q201110111600]  $R$ を環, $I$ を $R$ の左イデアルとする. $R$ 自身を左 $R$ 加群とみたとき, $I$ は $R$ の部分左 $R$ 加群なので, 剰余 $R$ 加群 $R/I$ が定まる. このとき, $I\neq R$ ならば, $$ \mbox{$R/I$ は単純左 $R$ 加群} \Longleftrightarrow \mbox{$I$ は極大左イデアル} $$ が成り立つことを証明せよ.

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