$R$ を環, $M$, $M'$ を左 $R$ 加群, $f:M\rightarrow M'$ を $R$ 上の全射準同型写像とする. また, $\Omega$ を $M$ の部分左 $R$ 加群で $\ker{f}$ を含むもの全体からなる集合族, $\Omega'$ を $M'$ の部分左 $R$ 加群全体からなる集合族とする. このとき, 写像 $$ \Phi:\Omega \longrightarrow \Omega',\qquad L\longmapsto f(L) $$ は全単射であり, $$ \Psi:\Omega'\longrightarrow \Omega,\qquad L'\longmapsto f^{-1}(L') $$ が $\Phi$ の逆写像である. このことを証明せよ.
解答例 1
$0'$ を $M'$ の零元とする.
$f$ は全射なので, $M'=f(M)$. このとき, $L\in\Omega$ ならば $f(L)\in\Omega'$ である. また, $$ \ker{f} = f^{-1}(\{0'\}) \subseteq f^{-1}(L') $$ であるから, $L'\in\Omega'$ ならば $f^{-1}(L')\in\Omega$ である. よって, 写像 $\Phi$, $\Psi$ が定まる.
$f$ の準同型性と $\ker{f}\subseteq L$ より, $f^{-1}(f(L))=L$ が成り立つ. また, $f$ の全射性より, $f(f^{-1}(L'))=L'$ が成り立つ.
以上により, $\Phi$ と $\Psi$ とは互いに逆写像であることが証明された.
最終更新日：2011年11月02日