[q201110060700]  $R$ を環, $M$, $N$ を左 $R$ 加群, $f:M\rightarrow N$ を $R$ 準同型写像とする. $M$, $N$ がともに単純ならば, $f$ は零写像または $R$ 同型写像である. このことを証明せよ.

Keywords: Schur の補題, シューアの補題

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[q201110121900]  $R$ を環とする. $R$ が左 $R$ 加群として直和分解されるための必要十分条件は, ある $e_{1}$, $e_{2}$, $\ldots$, $e_{n}\in R$ が存在して, \begin{equation} 1=\sum_{i=1}^{n}e_i\tag{$*$} \end{equation} と表され, 各 $i$, $j$ に対して, \begin{equation} e_{i}e_{j} = \begin{cases} e_{i}^{2}, & \mbox{$i=j$ のとき} \\ 0, & \mbox{$i\neq j$ のとき} \end{cases} \tag{$*$$*$} \end{equation} が成り立つことである. また, この条件が成り立つとき, $$ R = \bigoplus_{i=1}^{n}Re_{i} $$ となる. このことを証明せよ.

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[q201110230500]  $R$ を環, $M$ を左 $R$ 加群, $L$, $N$ を $M$ の部分左 $R$ 加群とし, $$ N:L = \{ a\in R\mid aL\subseteq N \} $$ とおく. このとき, $N:L$ は $R$ の両側イデアルであることを証明せよ.

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[q201110230600]  $R$ を環, $M$ を左 $R$ 加群, $L$, $N$ を $M$ の部分左 $R$ 加群とする. このとき, $$ N:L = R \Longleftrightarrow L\subseteq N $$ が成り立つことを証明せよ.

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[q201110230700]  $R$ を環, $M$ を左 $R$ 加群, $L$, $N$ を $M$ の部分左 $R$ 加群とする. このとき, $$ N:(N+L) = N:L $$ が成り立つことを証明せよ.

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