解答例 1

$0$ を $M$ の零元, $0'$ を $M'$ の零元とする.

$L\subseteq f^{-1}(f(L))$ は, $$ x\in L \Longrightarrow f(x)\in f(L) \Longrightarrow x\in f^{-1}(f(L)) $$ よりわかる. また, $f$ の準同型性より $f(0)=0'$ であり, $L$ が $M$ の部分左 $R$ 加群であることより $0\in L$ であるから, $0'\in f(L)$. よって, $$ \ker{f}=f^{-1}(0')\subseteq f^{-1}(f(L)). $$ 一般に, 左 $R$ 加群の $R$ 準同型による像および逆像もまた 左 $R$ 加群をなす. 特に, $\ker{f}$ や $f^{-1}(f(L))$ は $M$ の部分左 $R$ 加群である. ゆえに, $L+\ker{f}\subseteq f^{-1}(f(L))$.

逆に, $f^{-1}(f(L))\subseteq L+\ker{f}$ は, \begin{align*} x\in f^{-1}(f(L)) &\Longrightarrow f(x)\in f(L) \\ &\Longrightarrow f(x)=f(a)\;(\exists a\in L) \\ &\Longrightarrow f(x-a)=f(x)-f(a)=0'\;(\exists a\in L) \\ &\Longrightarrow x-a\in \ker{f}\;(\exists a\in L) \\ &\Longrightarrow x\in L + \ker{f} \end{align*} よりわかる. ゆえに, $f^{-1}(f(L))=L+\ker{f}$.

最終更新日：2011年11月02日