[q201102010900]  $a$, $b$ を整数とし, $b>0$ であるとする. このとき, $$ a = bq+r,\quad 0\leq r< b $$ を満たすような整数 $q$, $r$ がただ1組だけ存在することを証明せよ.

Keywords: 除法の原理

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[q201102011000]  $a$ を整数, $b_{1}$, $b_{2}$, $\ldots$, $b_{n}$ を正の整数とする. このとき, \begin{align*} & a = q_{n}b_{1}b_{2}\cdots b_{n} + r_{n-1}b_{1}b_{2}\cdots b_{n-1}+ \cdots + r_{1}b_{1} + r_{0}, \\ & 0\leq r_{i} < b_{i+1}\quad (0\leq i\leq n-1) \end{align*} を満たす整数 $q_{n}$, $r_{0}$, $\ldots$, $r_{n-1}$ がただ1組だけ存在することを証明せよ.

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[q201102011100]  $a$, $b$ を正の整数とする. このとき, ある正の整数 $m$ が存在して, \begin{align*} &a = r_{m}b^m + r_{m-1}b^{m-1}+\cdots+r_{1}b+r_{0}, \\ &0\leq r_{i}< b\quad (0\leq i\leq m) \end{align*} を満たす整数 $r_{0}$, $\ldots$, $r_{m}$ が $m$に対してただ1組だけ定まることを証明せよ.

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[q201102020900]  $a_{1}$, $a_{2}$, $\ldots$, $a_{n}$ を整数とし, $$ I = \{ a_{1}x_{1} + a_{2}x_{2} + \cdots + a_{n}x_{n} \mid x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n}\in\mathbb{Z} \} $$ とおく. また, $d=\gcd(a_{1}, a_{2}, \ldots, a_{n})$ とおく. このとき, $I=d\mathbb{Z}$ が成り立つ. 特に, ある $x_{1}$, $x_{2}$, $\ldots$, $x_{n}\in\mathbb{Z}$ が存在して, $$ a_{1}x_{1} + a_{2}x_{2} + \cdots + a_{n}x_{n} = d $$ が成り立つ. このことを証明せよ.

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[q201102021000]  $a_{1}$, $a_{2}$, $\ldots$, $a_{n}$ を整数, $m$ を正の整数とする. このとき, $$ \gcd(ma_1,\,\ldots,\,ma_n) = m\cdot\gcd(a_1,\,\ldots,\,a_n) $$ が成り立つことを証明せよ.

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