$R$ を環, $M$, $M'$ を左 $R$ 加群, $f:M\rightarrow M'$ を $R$ 上の全射準同型写像とする. $(L_{\lambda}\mid \lambda\in\Lambda)$ を $M$ の部分左 $R$ 加群からなる集合系とし, すべての $\lambda\in\Lambda$ に対して $\ker{f}\subseteq L_{\lambda}$ が成り立つとする. このとき, $$ f\left( \bigcap_{\lambda\in\Lambda}L_{\lambda} \right) = \bigcap_{\lambda\in\Lambda}f(L_{\lambda}) $$ であることを証明せよ.
解答例 1
まず, $f$ の全射性や準同型性とは無関係に, $$ f^{-1}\left( \bigcap_{\lambda\in\Lambda}f(L_{\lambda}) \right) = \bigcap_{\lambda\in\Lambda}f^{-1}(f(L_{\lambda})) $$ が成り立つ. 右辺について, $f$ の準同型性と, すべての $\lambda\in\Lambda$ に対して $\ker{f}\subseteq L_{\lambda}$ が成り立つことから, $$ \bigcap_{\lambda\in\Lambda}f^{-1}(f(L_{\lambda})) = \bigcap_{\lambda\in\Lambda}L_{\lambda}. $$ よって, $$ \bigcap_{\lambda\in\Lambda}L_{\lambda} = f^{-1}\left( \bigcap_{\lambda\in\Lambda}f(L_{\lambda}) \right). $$ ゆえに, $$ f\left(\bigcap_{\lambda\in\Lambda}L_{\lambda}\right) = f\left(f^{-1}\left( \bigcap_{\lambda\in\Lambda}f(L_{\lambda}) \right)\right). $$ 右辺について, $f$ の全射性から, $$ f\left(f^{-1}\left( \bigcap_{\lambda\in\Lambda}f(L_{\lambda}) \right)\right) = \bigcap_{\lambda\in\Lambda}f(L_{\lambda}). $$ したがって, $$ f\left( \bigcap_{\lambda\in\Lambda}L_{\lambda} \right) = \bigcap_{\lambda\in\Lambda}f(L_{\lambda}). $$
最終更新日：2011年11月02日