[q201110110800]  $R$ を環, $M$ を有限生成左 $R$ 加群, $N$ を $M$ の部分左 $R$ 加群とする. $N\neq M$ ならば, $M$ は $N$ を含むような極大部分左 $R$ 加群をもつことを証明せよ.

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[q201110240600]  $R$ を環, $M$, $M'$ を左 $R$ 加群, $f:M\rightarrow M'$ を $R$ 上の準同型写像とする. このとき, $f$ が単射であるための必要十分条件は, $\ker{f}=\{0\}$ であることを証明せよ.

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[q201110240700]  $R$ を環, $M$, $M'$ を左 $R$ 加群, $f:M\rightarrow M'$ を $R$ 上の準同型写像とする. また, $N$ を $M$ の部分左 $R$ 加群とする. このとき, $f(N)$ は $M'$ の部分左 $R$ 加群であることを証明せよ.

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[q201110240800]  $R$ を環, $M$, $M'$ を左 $R$ 加群, $f:M\rightarrow M'$ を $R$ 上の準同型写像とする. また, $N'$ を $M'$ の部分左 $R$ 加群とする. このとき, $f^{-1}(N')$ は $M$ の部分左 $R$ 加群であることを証明せよ.

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[q201110240900]  $R$ を環, $M$, $M'$ を左 $R$ 加群, $f:M\rightarrow M'$ を $R$ 上の準同型写像とする. $L$ を $M$ の部分左 $R$ 加群とし, $\ker{f}\subseteq L$ とする. このとき, $f^{-1}(f(L))=L$ が成り立つことを証明せよ.

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