[q201108022145]  整域 $R$ 上の多項式環 $R[X]$ が単項イデアル整域ならば, $R$ は体であることを証明せよ.

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[q201110180700]  $\mathbb{Z}[X]$ を整数環 $\mathbb{Z}$ 上の $1$ 変数多項式環, $p$ を素数, $a$ を整数とする. このとき, $p$ と $X-a$ とで生成される $\mathbb{Z}[X]$ のイデアル $$ (p, X-a) = p\mathbb{Z}[X] + (X-a)\mathbb{Z}[X] $$ は極大イデアルであることを証明せよ.

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[q201110180800]  $R$ を整域, $R[X, Y]$ を $R$ 上の $2$ 変数多項式環とする. このとき, $X$ で生成される $R[X, Y]$ のイデアル $(X)=X\cdot R[X, Y]$ は素イデアルであることを証明せよ.

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[q201110180900]  $K$ を体, $K[X, Y]$ を $K$ 上の $2$ 変数多項式環とする. このとき, $X$, $Y$ で生成される $K[X, Y]$ のイデアル $$ (X, Y) = X\cdot K[X, Y] + Y\cdot K[X, Y] $$ は極大イデアルであることを証明せよ.

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[q201110181000]  $R$ を整域, $R[X, Y]$ を $R$ 上の $2$ 変数多項式環とする. このとき, $X$, $Y$ で生成される $R[X, Y]$ のイデアル $$ (X, Y) = X\cdot R[X, Y] + Y\cdot R[X, Y] $$ は単項イデアルではないことを証明せよ.

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