$K$ を体, $K[X, Y]$ を $K$ 上の $2$ 変数多項式環とする. このとき, $X$, $Y$ で生成される $K[X, Y]$ のイデアル $$ (X, Y) = X\cdot K[X, Y] + Y\cdot K[X, Y] $$ は極大イデアルであることを証明せよ.
解答例 1
写像 $$ \Phi: K[X, Y]\longrightarrow K,\quad f(x, y)\longmapsto f(0, 0) $$ は環の全射準同型であり, \begin{align*} \ker{\Phi} &= \{ f(x, y) \in K[X, Y] \mid f(0, 0) = 0 \} \\ &= X\cdot K[X, Y] + Y\cdot K[X, Y] \\ &= (X, Y). \end{align*} 準同型定理より, $$ K[X, Y]/(X, Y) \cong K. $$ $K$ は体であるから, $(X, Y)$ は $K[X, Y]$ の極大イデアルである.
最終更新日：2011年11月02日