解答例 1

すべての $f(X, Y)\in R[X, Y]$ は, それぞれ $$ f(X, Y) = f_{1}(Y) + Xf_{2}(X, Y), \quad f_{1}(Y)\in R[Y],\quad f_{2}(X, Y)\in R[X, Y] $$ と一意的に表される. よって, 写像 $$ \Phi:R[X, Y]\longrightarrow R[Y],\quad f(X, Y)\longmapsto f_{1}(Y) $$ が定まる. $\Phi$ は環の全射準同型であり, \begin{align*} \ker{\Phi} &= \{f(X, Y)\in R[X, Y]\mid f_1(Y) = 0\} \\ &= X\cdot R[X, Y] = (X). \end{align*} 準同型定理より, $$ R[X, Y]/(X) \cong R[Y]. $$ $R$ は整域だから $R[Y]$ も整域である. ゆえに, $(X)$ は $R[X, Y]$ の素イデアルである.

最終更新日：2011年11月02日