[q201110030900]  $p$ を素数とする. $R$ を標数 $p$ の環とする. $x$, $y\in R$ とし, $xy=yx$ であるとする. このとき, 任意の正の整数 $n$ に対して, \begin{equation} (x+y)^{p^n} = x^{p^n} + y^{p^n} \tag{$*$} \end{equation} が成り立つことを証明せよ.

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[q201110030930]  $p$ を素数とする. $R$ を標数 $p$ の環とする. $x_{1}$, $x_{2}$, $\ldots$, $x_{m}\in R$ とし, 積について互いに可換であるとする. このとき, 任意の正の整数 $n$ に対して, \begin{equation} (x_{1}+x_{2}+\cdots+x_{m})^{p^n} = x_{1}^{p^n} + x_{2}^{p^n} + \cdots + x_{m}^{p^n} \tag{$*$} \end{equation} が成り立つことを証明せよ.

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[q201110160700]  $R$ を環とし, $R^{\times}$ を $R$ の単元全体からなる集合とする. $R^{\times}$ は, その乗法を $R$ の元の積で定義することによって群をなすことを確かめよ.

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[q201108071400]  $R$ を環とする. このとき, $R$ の単元は $R$ の零因子ではないことを証明せよ.

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[q201110220800]  $R$ を環とし, $x$ を $R$ の元とする. このとき, $x$ が冪零元ならば, $1-x$ は $R$ の単元であることを証明せよ.

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