[q201110140800]  $R$ を環, $M_{n}(R)$ を $R$ 上の $n$ 次全行列環, $\mathfrak{J}$ を $M_{n}(R)$ の両側イデアルとする. このとき, $R$ の両側イデアル $I$ で, $\mathfrak{J}=M_{n}(I)$ となるものが存在することを証明せよ. ここで, $M_{n}(I)$ は $I$ の元を成分とする $n$ 次正方行列全体である.

また, 上の命題において「両側イデアル」を「左イデアル」に置き換えると一般には成り立たない. そのような例を挙げよ.

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[q201110140900]  単純環上の全行列環は単純環であることを証明せよ.

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[q201108022100]  整域 $R$ 上の多項式環 $R[X]$ は整域であることを証明せよ.

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[q201108022115]  $a\in\mathbb{Z}$, $a\neq 0$, $\pm 1$ とする. このとき, 多項式環 $\mathbb{Z}[X]$ のイデアル $(a, X)$ は単項イデアルでないことを証明せよ.

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[q201108022130]  $R$ を整域とし, $a$ を $R$ の $0$ でない元とする. このとき, $R$ 上の多項式環 $R[X]$ のイデアル $(a, X)$ が単項イデアルならば, $(a, X) = R[X]$ かつ $a\in R^{\times}$ であることを証明せよ.

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