[q201110100300]  $R$ を環とする. 各 $a\in R$ に対して, $$ I_{a}=\{x\in R \mid xa = 0\} $$ とおく. このとき, $I_{a}$ は $R$ の左イデアルであることを証明せよ.

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[q201110100400]  $R$ を環, $I$ を $R$ の左イデアルとし, $$ M =\{x\in R \mid xa \in I\,(\forall a\in R)\} $$ とおく. このとき, $M$ は $R$ の両側イデアルであることを証明せよ.

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[q201110100500]  $R$ を環, $I$ を $R$ の左イデアルとし, $$ M =\{x\in R \mid xa = 0\,(\forall a\in I)\} $$ とおく. このとき, $M$ は $R$ の両側イデアルであることを証明せよ.

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[q201110100700]  $R$ を環とする. また, $\Gamma_0$ を $R$ の左イデアルからなる空でない集合族とし, 包含関係について全順序集合であるものとする. このとき, $\displaystyle\bigcup_{J\in\Gamma_0}J$ は $R$ の左イデアルであることを証明せよ.

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[q201110100800]  $R$ を環, $I$ を $R$ の左イデアルとする. $I\neq R$ ならば, $R$ は $I$ を含むような極大左イデアルをもつことを証明せよ.

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