[q201110071400]  $R$ を環, $M$, $N$ を左 $R$ 加群とする. このとき, $$ M\cong N \Longrightarrow \mathrm{Ann}(M) = \mathrm{Ann}(N) $$ が成り立つことを証明せよ.

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[q201110120600]  $R$ を環, $\mathfrak{m}$ を $R$ の Jacobson 根基とする. $\mathfrak{m}$ は, すべての単純左 $R$ 加群 $M$ の零化イデアル $\mathrm{Ann}(M)$ の共通部分と一致する. すなわち, $$ \mathfrak{m} = \bigcap_{M}\mathrm{Ann}(M). $$ また, $\mathfrak{m}$ は $R$ の両側イデアルである. このことを証明せよ.

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[q201110120700]  $R$ を環, $I$ を $R$ の両側イデアルとする. また, $\mathfrak{m}$ を $R$ の Jacobson 根基, $\mathfrak{n}$ を剰余環 $R/I$ の Jacobson 根基とする. このとき, $$ I\subseteq\mathfrak{m} \Longrightarrow \mathfrak{n}=\mathfrak{m}/I $$ が成り立つことを証明せよ.

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[q201110120800]  $R$ を環, $\mathfrak{m}$ を $R$ の Jacobson 根基, $r\in R$ とする. このとき, $r\in\mathfrak{m}$ であるための必要十分条件は, 任意の $s\in R$ に対して, $1-sr$ が左逆元を持つことである. このことを証明せよ.

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[q201110120900]  $R$ を環, $\mathfrak{m}$ を $R$ の Jacobson 根基, $a\in \mathfrak{m}$ とする. このとき, $1-a$ は $R$ の単元であることを証明せよ.

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