[q201110190800]  $R$, $R'$ を環, $f:R\rightarrow R'$ を環の全射準同型, $I$ を $R$ の左イデアルとする. このとき, $f(I)$ は $R'$ の左イデアルであることを証明せよ.

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[q201110191300]  $R$, $R'$ を環, $f:R\rightarrow R'$ を環の準同型写像, $J_{1}$, $J_{2}$ を $R'$ の左イデアルとする. このとき, $$ f^{-1}(J_{1}) + f^{-1}(J_{2}) \subseteq f^{-1}(J_{1}+J_{2}) $$ が成り立つ. さらに, $f$ が全射ならば, 等号が成り立つ. このことを証明せよ.

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[q201110191400]  $R$, $R'$ を環, $f:R\rightarrow R'$ を環の準同型写像, $J_{1}$, $J_{2}$ を $R'$ の左イデアルとする. このとき, $$ f^{-1}(J_{1})f^{-1}(J_{2}) \subseteq f^{-1}(J_{1}J_{2}) $$ が成り立つことを証明せよ.

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[q201110191500]  $R$, $R'$ を環, $f:R\rightarrow R'$ を環の全射準同型写像, $I_{1}$, $I_{2}$ を $R$ の左イデアルとする. このとき, $$ f(I_{1}) + f(I_{2}) = f(I_{1}+I_{2}) $$ が成り立つことを証明せよ.

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[q201110191600]  $R$, $R'$ を環, $f:R\rightarrow R'$ を環の全射準同型写像, $I_{1}$, $I_{2}$ を $R$ の左イデアルとする. このとき, $$ f(I_{1})f(I_{2}) = f(I_{1}I_{2}) $$ が成り立つことを証明せよ.

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