$R$ を環とする. 各 $a\in R$ に対して, $$ I_{a}=\{x\in R \mid xa = 0\} $$ とおく. このとき, $I_{a}$ は $R$ の左イデアルであることを証明せよ.
解答例 1
$0\in I_{a}$ より, $I_{a}\neq\emptyset$.
任意の $x$, $y\in I_{a}$, $r\in R$ に対して, \begin{align*} &(x-y)a = xa - ya = 0 - 0 = 0, \\ &(rx)a = r(xa) = r\cdot 0 = 0 \end{align*} であるから, $x-y$, $rx\in I_{a}$.
最終更新日：2011年11月02日