解答例 1

$\displaystyle J_{\infty}=\bigcup_{J\in\Gamma_0}J$ とおく. $\Gamma_0$ が空でないことから, $J_{\infty}$ も空でない.

$x$, $y\in J_{\infty}$, $r\in R$ とする. ある $J_{1}$, $J_{2}\in\Gamma_0$ が存在して, $x\in J_{1}$, $y\in J_{2}$ である. $\Gamma_0$ は全順序集合だから, $J_{1}\subseteq J_{2}$ または $J_{2}\subseteq J_{1}$ である. そこで, $J_1$, $J_2$ のうち包含関係について大きいほうを $J_0$ とおく. すると, $x$, $y\in J_0$ となるから, $x-y$, $rx\in J_0\subseteq J_{\infty}$ となる. したがって, $J_{\infty}$ は $R$ の左イデアルである.

最終更新日：2011年11月02日