$R$ を環, $I$ を $R$ の左イデアルとし, $$ M =\{x\in R \mid xa = 0\,(\forall a\in I)\} $$ とおく. このとき, $M$ は $R$ の両側イデアルであることを証明せよ.
解答例 1
$0\in M$ であるから, $M\neq\emptyset$.
$x$, $y\in M$, $r\in R$ とする. 任意の $a\in I$ に対して, \begin{align*} (x-y)a &= xa - ya = 0, \\ (rx)a &= r(xa) = 0. \end{align*} また, $I$ が左イデアルであることより, $ra\in I$ であるから, $$ (xr)a = x(ra) = 0. $$ よって, $x-y$, $rx$, $xr\in M$.
最終更新日：2011年11月02日