[q201108121300]  位数 $15$ の群は巡回群であることを証明せよ.

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[q201108121400]  位数 $10$ の群は巡回群か2面体群であることを証明せよ.

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[q201109061300]  整数成分の $2$ 次正方行列でその行列式が $\pm 1$ のもの全体 $$ GL_2(\mathbb{Z}) = \left\{ P=\begin{bmatrix} p & q \\ r & s \end{bmatrix} \Biggm| p, q, r, s\in\mathbb{Z},\, \det P=ps-qr=\pm 1 \right\}. $$ は群をなすことを証明せよ.

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[q201109061400]  整数成分の2次正方行列でその行列式が $1$ のもの全体 \begin{align*} SL_2(\mathbb{Z}) &= \left\{ P=\begin{bmatrix} p & q \\ r & s \end{bmatrix} \Biggm| p, q, r, s\in\mathbb{Z},\, \det P=ps-qr=1 \right\} \\ &= \{ P\in GL_2(\mathbb{Z}) \mid \det P = 1 \}. \end{align*} は $GL_2(\mathbb{Z})$ の指数 $2$ の部分群であることを証明せよ.

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[q201109061500]  $SL_2(\mathbb{Z})$ は $\begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$, $\begin{bmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix}$ によって生成されることを証明せよ.

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