[q201110100900]  $R$ を環, $I$ を $R$ の両側イデアルとし, $L_1$, $L_2$ を $R$ の左イデアルで $I$ を含むものとする. このとき, $$ L_{1}/I\subseteq L_{2}/I \Longleftrightarrow L_{1}\subseteq L_{2} $$ が成り立つ. 特に, $$ L_{1}/I = L_{2}/I \Longrightarrow L_{1} = L_{2} $$ が成り立つ. このことを証明せよ.

---

[q201110101000]  $R$ を環, $I$ を $R$ の両側イデアル, $\mathcal{L}$ を $R$ の左イデアルで $I$ を含むものからなる集合族とする. このとき, $$ \left(\bigcap_{L\in\mathcal{L}}L\right)/I = \bigcap_{L\in\mathcal{L}}(L/I) $$ が成り立つことを証明せよ.

---

[q201110140500]  斜体上の全行列環は単純環であることを証明せよ.

---

[q201110140600]  $R$ を環, $M_{n}(R)$ を $R$ 上の $n$ 次全行列環, $I$ を $R$ の左イデアルとする. このとき, $I$ の元を成分とする $n$ 次正方行列の全体 $M_{n}(I)$ は $M_{n}(R)$ の左イデアルになることを確かめよ.

---

[q201110140700]  $R$ を環, $M_{n}(R)$ を $n$ 次全行列環, $\mathfrak{J}$ を $M_{n}(R)$ の左イデアルとする. 各 $k$, $l$ ($k=1$, $2$, $\ldots$, $n$; $l=1$, $2$, $\ldots$, $n$) に対して, $$ I_{kl} = \{ a_{kl} \mid [a_{ij}]\in\mathfrak{J} \} $$ とおくと, $I_{kl}$ は $R$ の左イデアルになる. このことを確認せよ.

---