$R$ を環, $I$ を $R$ の左イデアルとし, $$ M =\{x\in R \mid xa \in I\,(\forall a\in R)\} $$ とおく. このとき, $M$ は $R$ の両側イデアルであることを証明せよ.
解答例 1
$0\in I$ より, $0\in M$ であるから, $M\neq\emptyset$.
$x$, $y\in M$, $r\in R$ とする. 任意の $a\in R$ に対して, \begin{align*} (x-y)a &= xa - ya \in I, \\ (rx)a &= r(xa)\in I, \\ (xr)a &= x(ra)\in I. \end{align*} よって, $x-y$, $rx$, $xr\in M$.
最終更新日：2011年11月02日