解答例 1

$G$ を位数 $15$ の群とする.

$G$ の $5$-Sylow 部分群の個数 $s$ は, $\lvert G\rvert=15$ の約数かつ $s\equiv 1\pmod{5}$ を満たす. ゆえに, $s=1$. よって, $G$ の $5$-Sylow 部分群は, ただ1つ存在し, $G$ の正規部分群である. それを $A$ とおく. $\lvert A\rvert=5$ である.

また, $G$ の $3$-Sylow 部分群の個数 $t$ は, $\lvert G\rvert=15$ の約数かつ $t\equiv 1\pmod{3}$ を満たす. ゆえに, $t=1$. よって, $G$ の $3$-Sylow 部分群は, ただ1つ存在し, $G$ の正規部分群である. それを $B$ とおく. $\lvert B\rvert=3$である.

$e$ を $G$ の単位元とすると, $A\cap B=\{e\}$ である. 実際, \begin{align*} x\in A\cap B &\Longrightarrow x^5 = x^3 = e \\ &\Longrightarrow x = x^{6-5} = (x^3)^2\cdot(x^5)^{-1} = e. \end{align*}

$A$, $B$ はともに素数位数なので巡回群である. $A$, $B$ の生成元をそれぞれ $a$, $b$ とおく. $A$, $B$ は正規部分群なので, $$ aba^{-1}b^{-1} \in A\cap B = \{e\}. $$ ゆえに, $ab=ba$. したがって, $ab$ は位数 $15$ の元であり, $G$ は $ab$ によって生成される巡回群である.

最終更新日：2011年11月02日