解答例 1

$G$ を位数 $10$ の群とする.

$G$ の $5$-Sylow 部分群の個数 $s$ は, $\lvert G\rvert=10$ の約数かつ $s\equiv 1\pmod{5}$ を満たす. ゆえに, $s=1$. よって, $G$ の $5$-Sylow 部分群は, ただ1つ存在し, $G$ の正規部分群である. それを $A$ とおく. $\lvert A\rvert=5$ である.

また, $G$ の $2$-Sylow 部分群の個数 $t$ は, $\lvert G\rvert=10$ の約数かつ $t\equiv 1\pmod{2}$ を満たす. ゆえに, $t=1$ または $5$ である. $2$-Sylow 部分群を任意に1つとり, それを $B$ とおく. $\lvert B\rvert=2$ である.

$e$ を $G$ の単位元とすると, $A\cap B=\{e\}$ である. 実際, \begin{align*} x\in A\cap B &\Longrightarrow x^5 = x^2 = e \\ &\Longrightarrow x = x^{5-4} = x^5\cdot(x^2)^{-2} = e. \end{align*} よって, $$ \lvert AB\rvert = \frac{\lvert A\rvert\lvert B\rvert}{\lvert A\cap B\rvert} = 10. $$ したがって, $G=AB$ である.

$A$, $B$ はともに素数位数なので巡回群である. $A$, $B$ の生成元をそれぞれ $a$, $b$ とおく. $G=AB$ であるから, $G$ は $a$, $b$ によって生成される.

$A$ は $G$ の正規部分群であるから, $bab^{-1}\in A$. よって, ある $r\in\mathbb{Z}$ が存在して, \begin{equation} bab^{-1} = a^r. \tag{1} \end{equation} $a$ の位数は $5$ だから, $0\leq r\leq 4$ としてよい. もし仮に $r=0$ ならば, (1) より $a=e$ が得られ, $a$ が $A$ の生成元であることに矛盾する. よって, $1\leq r\leq 4$.

$r=1$ のとき, (1) より $ab=ba$. したがって, $ab$ は位数 $10$ の元であり, $G$ は $ab$ によって生成される巡回群である.

$2\leq r\leq 4$ のとき, $b^2=e$ と (1) より, $$ a = b^2ab^{-2} = ba^rb^{-1} = (bab^{-1})^r = a^{r^2}. $$ よって, $$ r^2\equiv 1\pmod{5}. $$ これを満たすのは $r=4$ のときのみである. ゆえに, $bab^{-1}=a^4$ となり, $G$ の生成元 $a$, $b$ は関係式 $$ a^5 = e,\quad b^2=e,\quad ba = a^4b $$ を満たす. したがって, $G$ は2面体群である.

最終更新日：2011年11月02日