解答例 1

$S = \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$, $T = \begin{bmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix}$ とおく. $$ \det S=\det T=1 $$ より, $S$, $T\in SL_2(\mathbb{Z})$.

$S$, $T$ で生成される $SL_2(\mathbb{Z})$ の部分群を $\Gamma$ とおく. $SL_2(\mathbb{Z})\neq\Gamma$ と仮定して矛盾を導く.

$\begin{bmatrix} p & q \\ 0 & s \end{bmatrix}\in SL_2(\mathbb{Z})$ とすると, $ps-q\cdot 0=1$より$p=s=\pm 1$. 一方, $$ \begin{bmatrix} 1 & q \\ 0 & 1 \end{bmatrix} = S^q,\quad \begin{bmatrix} -1 & q \\ 0 & -1 \end{bmatrix} = S^{-q}T^2 $$ であるから, $\begin{bmatrix} p & q \\ 0 & s \end{bmatrix}\in\Gamma$ となる. よって, $$ r_0 = \min\left\{ \lvert r\rvert \Biggm| \begin{bmatrix} p & q \\ r & s \end{bmatrix}\in SL_2(\mathbb{Z})\setminus\Gamma \right\} $$ とおくと, $r_0\geq 1$ である. $SL_2(\mathbb{Z})\setminus\Gamma$ の元で $(2, 1)$-成分が $r_0$ のものをとり, $P_0=\begin{bmatrix} p_0 & q_0 \\ r_0 & s_0 \end{bmatrix}$ とおく. 除法の原理により, ある $n$, $n'\in\mathbb{Z}$ が存在して, $$ s_0 = r_0n+n',\quad 0\leq n'<r_0. $$ よって, $$ 0\leq \lvert s_0-r_0n \rvert<r_0. $$ このとき, $r_0$ の最小性から, $$ P_0S^{-1}T = \begin{bmatrix} q_0-p_0n & -p_0 \\ s_0-r_0n & -r_0 \end{bmatrix} \in\Gamma. $$ 一方, $S^{-1}T\in\Gamma$より, $P_0\in\Gamma$. これは矛盾である. ゆえに, $SL_2(\mathbb{Z})=\Gamma$.

最終更新日：2011年11月02日