整数成分の2次正方行列でその行列式が $1$ のもの全体 \begin{align*} SL_2(\mathbb{Z}) &= \left\{ P=\begin{bmatrix} p & q \\ r & s \end{bmatrix} \Biggm| p, q, r, s\in\mathbb{Z},\, \det P=ps-qr=1 \right\} \\ &= \{ P\in GL_2(\mathbb{Z}) \mid \det P = 1 \}. \end{align*} は $GL_2(\mathbb{Z})$ の指数 $2$ の部分群であることを証明せよ.
解答例 1
任意の $P$, $Q\in GL_2(\mathbb{Z})$ に対して $\det PQ = \det P\det Q$ が成り立つことから, 写像 $$ GL_2(\mathbb{Z})\rightarrow\{\pm 1\},\quad P\mapsto\det{P} $$ は群の準同型である. その核は $SL_2(\mathbb{Z})$ である. さらに, 準同型定理により, $$ GL_2(\mathbb{Z})/SL_2(\mathbb{Z})\cong \{\pm 1\}. $$ ゆえに, $[GL_2(\mathbb{Z}):SL_2(\mathbb{Z})]=2$.
最終更新日：2011年11月02日