整数成分の $2$ 次正方行列でその行列式が $\pm 1$ のもの全体 $$ GL_2(\mathbb{Z}) = \left\{ P=\begin{bmatrix} p & q \\ r & s \end{bmatrix} \Biggm| p, q, r, s\in\mathbb{Z},\, \det P=ps-qr=\pm 1 \right\}. $$ は群をなすことを証明せよ.
解答例 1
任意の2つの行列 $P$, $Q\in GL_2(\mathbb{Z})$ に対して, $$ \det PQ=\det P\det Q=\pm 1 $$ より, 積 $PQ$ も $GL_2(\mathbb{Z})$ に属する.
$GL_2(\mathbb{Z})$ の単位元は単位行列 $E=\begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$ である.
任意の $P=\begin{bmatrix} p & q \\ r & s \end{bmatrix}\in GL_2(\mathbb{Z})$ に対して, その逆行列 $\displaystyle P^{-1}=\frac{1}{\det P}\begin{bmatrix} s & -q \\ -r & p \end{bmatrix}$ が $GL_2(\mathbb{Z})$ における $P$ の逆元である.
最終更新日：2011年11月02日