$X$ を普遍集合, $(A_n)$ を $X$ の部分集合の列, $B$ を $X$ の部分集合とする. このとき, \begin{align*} & B\setminus\liminf_{n\to\infty}A_n = \limsup_{n\to\infty}{(B\setminus A_n)}, \\ & B\setminus\limsup_{n\to\infty}A_n = \liminf_{n\to\infty}{(B\setminus A_n)} \end{align*} が成り立つことを証明せよ.
解答例 1
\begin{align*} B\setminus\liminf_{n\to\infty}A_n &= B\setminus\left(\bigcup_{i=0}^{\infty}\bigcap_{n=i}^{\infty}A_n\right) \\ &= \bigcap_{i=0}^{\infty}\left(B\setminus\left(\bigcap_{n=i}^{\infty}A_n\right)\right) \\ &= \bigcap_{i=0}^{\infty}\bigcup_{n=i}^{\infty}(B\setminus A_n) \\ &= \limsup_{n\to\infty}{(B\setminus A_n)}, \\ B\setminus\limsup_{n\to\infty}A_n &= B\setminus\left(\bigcap_{i=0}^{\infty}\bigcup_{n=i}^{\infty}A_n\right) \\ &= \bigcup_{i=0}^{\infty}\left(B\setminus\left(\bigcup_{n=i}^{\infty}A_n\right)\right) \\ &= \bigcup_{i=0}^{\infty}\bigcap_{n=i}^{\infty}(B\setminus A_n) \\ &= \liminf_{n\to\infty}{(B\setminus A_n)}. \end{align*}
最終更新日：2011年11月02日