[q201109161600]  $A$, $B$ を集合とする. 集合の列 $(E_n)$ を $$ E_n = \begin{cases} A, & \mbox{$n=2k$ ($k=0, 1, 2, \ldots$)} \\ B, & \mbox{$n=2k+1$ ($k=0, 1, 2, \ldots$)} \end{cases} $$ とおくことによって定める. このとき, $$ \limsup_{n\to\infty}E_n = A\cup B,\quad \liminf_{n\to\infty}E_n = A\cap B $$ が成り立つことを証明せよ.

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[q201109161700]  $(A_n)$, $(B_n)$ を集合の列とするとき, $$ \limsup_{n\to\infty}{(A_n\cap B_n)} \subseteq \limsup_{n\to\infty}A_n\cap \limsup_{n\to\infty}B_n $$ が成り立つことを証明せよ. また, 等号が成り立たない例を挙げよ.

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[q201109161800]  $(A_n)$, $(B_n)$ を集合の列とするとき, $$ \liminf_{n\to\infty}A_n\cup \liminf_{n\to\infty}B_n \subseteq \liminf_{n\to\infty}{(A_n\cup B_n)} $$ が成り立つことを証明せよ. また, 等号が成り立たない例を挙げよ.

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[q201109161900]  $(A_n)$, $(B_n)$ を集合の列とする. $\displaystyle\lim_{n\to\infty}A_n$, $\displaystyle\lim_{n\to\infty}B_n$ がともに存在するとき, \begin{align*} \lim_{n\to\infty}(A_n\cup B_n) &= \lim_{n\to\infty}A_n\cup \lim_{n\to\infty}B_n, \\ \lim_{n\to\infty}(A_n\cap B_n) &= \lim_{n\to\infty}A_n\cap \lim_{n\to\infty}B_n \end{align*} が成り立つことを証明せよ.

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[q201109162000]  $(A_n)$, $(B_n)$ を集合の列とするとき, $$ \limsup_{n\to\infty}A_n\cap \liminf_{n\to\infty}B_n \subseteq \limsup_{n\to\infty}{(A_n\cap B_n)} $$ が成り立つことを証明せよ. また, 等号が成り立たない例を挙げよ.

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