解答例 1

仮定より, 任意の $i\in\mathbb{N}$ に対して, $$ A_0\supseteq A_1\supseteq\cdots\supseteq A_i $$ であるから, $$ \bigcap_{n=i}^{\infty}A_n = \bigcap_{n=0}^{\infty}A_n. $$ ゆえに, $$ \liminf_{n\to\infty}A_n = \bigcup_{i=0}^{\infty}\bigcap_{n=i}^{\infty}A_n = \bigcup_{i=0}^{\infty}\bigcap_{n=0}^{\infty}A_n = \bigcap_{n=0}^{\infty}A_n. $$ また, 仮定より, 任意の $i\in\mathbb{N}$ に対して, $$ A_i\supseteq A_{i+1}\supseteq A_{i+2}\supseteq \cdots $$ であるから, $$ \bigcup_{n=i}^{\infty}A_n=A_i. $$ ゆえに, $$ \limsup_{n\to\infty}A_n = \bigcap_{i=0}^{\infty}\bigcup_{n=i}^{\infty}A_n = \bigcap_{i=0}^{\infty}A_i = \bigcap_{n=0}^{\infty}A_n. $$ したがって, $$ \lim_{n\to\infty}A_n = \liminf_{n\to\infty}A_n = \limsup_{n\to\infty}A_n = \bigcap_{n=0}^{\infty}A_n. $$

最終更新日：2011年11月02日