解答例 1

まず, \begin{align*} A &= \limsup_{n\to\infty}A_n = \bigcap_{i=0}^{\infty}\bigcup_{n=i}^{\infty}A_n, \\ B &= \limsup_{n\to\infty}B_n = \bigcap_{i=0}^{\infty}\bigcup_{n=i}^{\infty}B_n, \\ C &= \limsup_{n\to\infty}{(A_n\cup B_n)} = \bigcap_{i=0}^{\infty}\bigcup_{n=i}^{\infty}(A_n\cup B_n) \end{align*} とおく.

任意の $n\in\mathbb{N}$ に対して $A_n\subseteq A_n\cup B_n$ であるから, $A\subseteq C$. また, 任意の $n\in\mathbb{N}$ に対して $B_n\subseteq A_n\cup B_n$ であるから, $B\subseteq C$. ゆえに, $A\cap B\subseteq C$.

逆に, $x\in C$ とする. いま, $x\not\in A$ と仮定する. そのとき, ある $i_0\in\mathbb{N}$ が存在して, 任意の $n\in\mathbb{N}$ に対して, \begin{equation} n\geq i_0 \Longrightarrow x\not\in A_n \tag{1} \end{equation} が成り立つ. $x\in C$ より, 任意 の $i\in\mathbb{N}$ に対して, ある $n(i)\in\mathbb{N}$ が存在して, $n(i)\geq i$ かつ $x\in A_{n(i)}\cup B_{n(i)}$ となる. このことは特に, $i\geq i_0$ を満たす任意の $i$ に対して成り立つ. そのとき, (1) より $x\in B_{n(i)}$ でなければならない. よって, $\displaystyle x\in\bigcap_{i=i_0}^{\infty}\bigcup_{n=i}^{\infty}B_n$. 一方, $$ \bigcup_{n=0}^{\infty}B_n \supseteq\bigcup_{n=1}^{\infty}B_n \supseteq\cdots \supseteq\bigcup_{n=i_0}^{\infty}B_n $$ であるから, $$ \bigcap_{i=i_0}^{\infty}\bigcup_{n=i}^{\infty}B_n = \bigcap_{i=0}^{\infty}\bigcup_{n=i}^{\infty}B_n = B. $$ ゆえに, $x\in B$. したがって, $x\in A$ または $x\in B$. すなわち, $x\in A\cup B$. こうして, 逆の包含関係もいえる.

最終更新日：2011年11月02日