解答例 1

まず, \begin{align*} A &= \liminf_{n\to\infty}A_n = \bigcup_{i=0}^{\infty}\bigcap_{n=i}^{\infty}A_n, \\ B &= \liminf_{n\to\infty}B_n = \bigcup_{i=0}^{\infty}\bigcap_{n=i}^{\infty}B_n, \\ C &= \liminf_{n\to\infty}{(A_n\cap B_n)} = \bigcup_{i=0}^{\infty}\bigcap_{n=i}^{\infty}(A_n\cap B_n) \end{align*} とおく.

任意の $n\in\mathbb{N}$ に対して $A_n\cap B_n\subseteq A_n$ であるから, $C\subseteq A$. また, 任意の $n\in\mathbb{N}$ に対して $A_n\cap B_n\subseteq B_n$ であるから, $C\subseteq B$. ゆえに, $C\subseteq A\cap B$.

逆に, $x\in A\cap B$ とする. $x\in A$ かつ $x\in B$ である. $x\in A$ より, ある $i_1\in\mathbb{N}$ が存在して, 任意の $n\in\mathbb{N}$ に対して, $$ n\geq i_1\Longrightarrow x\in A_n. $$ また, $x\in B$ より, ある $i_2\in\mathbb{N}$ が存在して, 任意の $n\in\mathbb{N}$ に対して, $$ n\geq i_2\Longrightarrow x\in B_n. $$ $i_0=\max\{i_1, i_2\}$ とおくと, 任意の $n\in\mathbb{N}$ に対して, \begin{align*} n\geq i_0 &\Longrightarrow \mbox{$x\in A_n$ かつ $x\in B_n$} \\ &\Longrightarrow x\in A_n\cap B_n. \end{align*} よって, $x\in C$ となる. したがって, 逆の包含関係も成り立つ.

最終更新日：2011年11月02日