解答例 1

$f$ は全射だから, 各々の $y\in B$に対して, $y$ の逆像 $$ f^{-1}(y) = \{ x\in A \mid f(x) = y \} $$ は空でない. $A_{y} = f^{-1}(y)$ とおけば, $(A_{y}\mid y\in B)$ は空でない集合からなる集合系である. 選択公理より, 写像 $s:B\rightarrow A$ で, 任意の$y\in B$に対して $s(y)\in A_{y}$ となるものが存在する. $s$ の定め方から明らかに, 任意の $y\in B$ に対して $$ f\circ s(y) = f(s(y)) = y = \mathrm{id}_{B}(y) $$ が成り立つから, $f\circ s=\mathrm{id}_{B}$ である.

最終更新日：2011年11月02日