$(A_{\lambda}\mid \lambda\in\Lambda)$, $(B_{\lambda}\mid \lambda\in\Lambda)$ を同じ添字集合 $\Lambda$ をもつ集合系とする. このとき, \begin{align*} \left(\bigcup_{\lambda\in\Lambda}A_{\lambda}\right)\cup \left(\bigcup_{\lambda\in\Lambda}B_{\lambda}\right) &= \bigcup_{\lambda\in\Lambda}(A_{\lambda}\cup B_{\lambda}) \\ \left(\bigcap_{\lambda\in\Lambda}A_{\lambda}\right)\cap \left(\bigcap_{\lambda\in\Lambda}B_{\lambda}\right) &= \bigcap_{\lambda\in\Lambda}(A_{\lambda}\cap B_{\lambda}) \end{align*} が成り立つことを証明せよ.
解答例 1
$\displaystyle A=\left(\bigcup_{\lambda\in\Lambda}A_{\lambda}\right)$, $\displaystyle B=\left(\bigcup_{\lambda\in\Lambda}B_{\lambda}\right)$, $\displaystyle C=\bigcup_{\lambda\in\Lambda}(A_{\lambda}\cup B_{\lambda})$ とおく. 任意の $\lambda\in\Lambda$ に対して, $A_{\lambda}$, $B_{\lambda}$ はともに $A_{\lambda}\cup B_{\lambda}$ に含まれる. よって, $A$, $B$ はともに $C$ に含まれるから, $A\cup B\subseteq C$. 逆に, $x\in C$ とする. ある $\lambda\in\Lambda$ が存在して, $x\in A_{\lambda}\cup B_{\lambda}$. このとき, $x\in A_{\lambda}$ または $x\in B_{\lambda}$. したがって, $x\in A$ または $x\in B$.
$\displaystyle A'=\left(\bigcap_{\lambda\in\Lambda}A_{\lambda}\right)$, $\displaystyle B'=\left(\bigcap_{\lambda\in\Lambda}B_{\lambda}\right)$, $\displaystyle C'=\bigcap_{\lambda\in\Lambda}(A_{\lambda}\cap B_{\lambda})$ とおく. 任意の $\lambda\in\Lambda$ に対して, $A_{\lambda}$, $B_{\lambda}$ はともに $A_{\lambda}\cap B_{\lambda}$ を含む. よって, $A'$, $B'$ はともに $C'$ を含むから, $C'\subseteq A'\cap B'$. 逆に, $x\in A'\cap B'$ とする. $x\in A'$ かつ $x\in B'$ である. 任意の $\lambda\in\Lambda$ に対して, $$ x\in A'\subseteq A_{\lambda},\quad x\in B'\subseteq B_{\lambda} $$ であるから, $x\in A_{\lambda}\cap B_{\lambda}$. ゆえに, $A'\cap B'\subseteq C'$.
最終更新日：2011年11月02日