[q201109120500]  $(A_{\lambda}\mid \lambda\in\Lambda)$ を集合系, $B$ を集合とする. このとき, $$ \left(\bigcup_{\lambda\in\Lambda}A_{\lambda}\right)\cap B = \bigcup_{\lambda\in\Lambda}(A_{\lambda}\cap B) $$ が成り立つことを証明せよ.

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[q201109120600]  $(A_{\lambda}\mid \lambda\in\Lambda)$ を集合系, $B$ を集合とする. このとき, $$ \left(\bigcap_{\lambda\in\Lambda}A_{\lambda}\right)\cup B = \bigcap_{\lambda\in\Lambda}(A_{\lambda}\cup B) $$ が成り立つことを証明せよ.

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[q201109120700]  $X$ を普遍集合, $(A_{\lambda}\mid\lambda\in\Lambda)$ を $X$ の部分集合系, $B$ を $X$ の部分集合とするとき, \begin{align*} B\setminus\left( \bigcup_{\lambda\in\Lambda}A_{\lambda} \right) &= \bigcap_{\lambda\in\Lambda}(B\setminus A_{\lambda}), \\ B\setminus\left( \bigcap_{\lambda\in\Lambda}A_{\lambda} \right) &= \bigcup_{\lambda\in\Lambda}(B\setminus A_{\lambda}) \end{align*} が成り立つことを証明せよ.

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[q201109120800]  $A_1$, $A_2$, $\ldots$, $A_n$ ($n\geq 2$) を集合とするとき, $$ \bigcap_{1\leq i<j\leq n}(A_i\cup A_j) = \bigcup_{1\leq i\leq n}(A_1\cap\cdots\cap A_{i-1}\cap A_{i+1}\cap\cdots\cap A_n) $$ が成り立つことを証明せよ.

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[q201109120900]  $(A_{\lambda}\mid \lambda\in\Lambda)$, $(B_{\mu}\mid \mu\in M)$ を集合系とするとき, \begin{align*} \left(\bigcup_{\lambda\in\Lambda}A_{\lambda}\right)\cap \left(\bigcup_{\mu\in M}B_{\mu}\right) &= \bigcup_{(\lambda, \mu)\in\Lambda\times M}(A_{\lambda}\cap B_{\mu}) \\ \left(\bigcap_{\lambda\in\Lambda}A_{\lambda}\right)\cup \left(\bigcap_{\mu\in M}B_{\mu}\right) &= \bigcap_{(\lambda, \mu)\in\Lambda\times M}(A_{\lambda}\cup B_{\mu}) \end{align*} が成り立つことを証明せよ.

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