$A$, $B$ を集合, $f:A\rightarrow B$, $g:B\rightarrow A$, $g':B\rightarrow A$ を写像, $\mathrm{id}_A$, $\mathrm{id}_B$ をそれぞれ $A$, $B$ 上の恒等写像とする. このとき, $g\circ f=\mathrm{id}_A$, $f\circ g'=\mathrm{id}_B$ が成り立てば, $f$ は全単射で, $g=g'=f^{-1}$ であることを証明せよ.
解答例 1
$g\circ f=\mathrm{id}_A$ より$g\circ f$ が全射だから, $f$ は全射である. また, $f\circ g'=\mathrm{id}_B$ より $f\circ g'$ が単射だから, $f$ は単射である. ゆえに, $f$ は全単射であり, 逆写像 $f^{-1}$ が存在する. さらに, \begin{align*} g &= g\circ\mathrm{id}_B = g\circ f\circ f^{-1} = \mathrm{id}_A \circ f^{-1} = f^{-1}, \\ g' &= \mathrm{id}_A \circ g' = f^{-1}\circ f\circ g' = f^{-1}\circ\mathrm{id}_B = f^{-1}. \end{align*} ゆえに, $g=g'=f^{-1}$.
最終更新日：2011年11月02日