$K=\mathbb{R}$ または $\mathbb{C}$ とする. $V$ を $K$ 上の有限次元計量ベクトル空間とするとき, $$ \{0\}^{\bot} = V,\quad V^{\bot} = \{0\} $$ となることを確かめよ. ただし, $\{0\}^{\bot}$, $V^{\bot}$ はそれぞれ $\{0\}$, $V$ の直交補空間とする.
解答例 1
$x\in V$ を任意にとると, $(x\mid 0)=0$ であるから, $0\in\{0\}^{\bot}$. ゆえに, $V\subseteq\{0\}^{\bot}$. 逆の包含関係は明らかだから, $\{0\}^{\bot}$.
任意の$y\in V$ に対して $(0\mid y)=0$ が成り立つから, $0\in V^{\bot}$. また, 任意の $x\in V$ に対して, $$ x\in V^{\bot} \Longrightarrow (x\mid x) = 0 \Longrightarrow x = 0. $$ ゆえに, $V^{\bot}=\{0\}$.
最終更新日：2011年11月02日