$K=\mathbb{R}$ または $\mathbb{C}$ とする. $V$ を $K$ 上の有限次元計量ベクトル空間, $W_1$, $W_2$ を $V$ の部分空間, $W_1^{\bot}$, $W_2^{\bot}$ をそれぞれ $W_1$, $W_2$ の直交補空間とする. このとき, $$ W_1\subseteq W_2 \Longrightarrow W_2^{\bot}\subseteq W_1^{\bot} $$ が成り立つことを証明せよ.
解答例 1
$W_1\subseteq W_2$ を仮定する. $x\in W_2^{\bot}$ とすると, 任意の $y\in W_2$ に対して, $(x\mid y)=0$ が成り立つ. このとき, 任意の $y'\in W_1$ に対して, 仮定より $y'\in W_2$ であるから, $(x\mid y')=0$ となる. ゆえに, $x\in W_1^{\bot}$. したがって, $W_2^{\bot}\subseteq W_1^{\bot}$.
最終更新日：2011年11月02日