$K=\mathbb{R}$ または $\mathbb{C}$ とする. $V$ を $K$ 上の有限次元計量ベクトル空間, $W$ を $V$ の部分空間, $W^{\bot}$ を $W$ の直交補空間とする. このとき, $(W^{\bot})^{\bot}=W$ が成り立つことを証明せよ.
解答例 1
$x\in W$ とすると, 任意の $y\in W^{\bot}$ に対して $$ (x\mid y) = \overline{(y\mid x)} = 0 $$ であるから, $x\in (W^{\bot})^{\bot}$. ゆえに, $W\subseteq (W^{\bot})^{\bot}$. また, $$ V = W\oplus W^{\bot} = W^{\bot}\oplus (W^{\bot})^{\bot} $$ であるから, $$ \dim V = \dim W + \dim W^{\bot} = \dim W^{\bot} + \dim (W^{\bot})^{\bot}. $$ これより, $\dim W = \dim (W^{\bot})^{\bot}$ が得られる.
$W$ は $(W^{\bot})^{\bot}$ の部分空間であり, 次元が等しいから, $W=(W^{\bot})^{\bot}$ となる.
最終更新日：2011年11月02日