解答例 1

$a$ を正の整数とする. このとき, \begin{align*} \sum_{d\mid a}\mu\left(\frac{a}{d}\right)G(d) &= \sum_{d\mid a}\mu\left(\frac{a}{d}\right)\sum_{d'\mid a}F(d') \\ &= \sum_{d\mid a}\sum_{d'\mid a}\mu\left(\frac{a}{d}\right)F(d') \\ &= \sum_{d'\mid a}F(d')\sum_{d''\mid a/d'}\mu(d''). \end{align*} ここで, 最後の等式を示すために, $a$ の約数 $d$, $d'$ について, $$ d'\mid d \Longleftrightarrow \frac{a}{d}\biggm|\frac{a}{d'} $$ が成り立つことを用いた. 一方, $$ \sum_{d''\mid a/d'}\mu(d'') = \begin{cases} 1, & \mbox{$a/d'=1$ のとき} \\ 0, & \mbox{$a/d'>1$ のとき} \end{cases} $$ であるから, $$ \sum_{d'\mid a}F(d')\sum_{d''\mid a/d'}\mu(d'') = \sum_{d'=a}F(d')\cdot 1 = F(a). $$ ゆえに, $$ \sum_{d\mid a}\mu\left(\frac{a}{d}\right)G(d) = F(a). $$ $a$ は任意であるから, $n$ を変数とする関数についての等式 $$ \sum_{d\mid n}\mu\left(\frac{n}{d}\right)G(d) = F(n). $$ が成り立つ.

最終更新日：2011年11月02日