[q201102061300]  $m$ を正の整数, $a$, $b$ を整数とし, $d=\gcd(a,\,m)$ とおく. このとき, 合同式 \begin{equation} ax\equiv b\pmod{m} \tag{$*$} \end{equation} が整数解をもつための必要十分条件は, $d$ が $b$ を割り切ることである. さらに, $m$ を法として考えたとき, 合同式 ($*$) の整数解の個数は $d$ である. このことを証明せよ.

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[q201102061400]  $a_{1}$, $a_{2}$ を整数, $m_{1}$, $m_{2}$ を正の整数とし, $d=\gcd(m_{1},\,m_{2})$ とおく. このとき, 連立合同式 \begin{equation} \begin{split} x&\equiv a_{1}\pmod{m_{1}}, \\ x&\equiv a_{2}\pmod{m_{2}} \end{split} \tag{$*$} \end{equation} が整数解を持つための必要十分条件は, $$ a_{1}\equiv a_{2} \pmod{d} $$ が成り立つことである. さらに, 連立合同式 ($*$) が整数解を持つとき, その解は $m_{1}$, $m_{2}$ の最小公倍数を法として一意的である. このことを証明せよ.

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[q201102061500]  $n$ を $2$ 以上の整数とし, $a_{1}$, $a_{2}$, $\ldots$, $a_{n}$ を整数, $m_{1}$, $m_{2}$, $\ldots$, $m_{n}$ を対ごとに素な正の整数とする. このとき, 連立合同式 \begin{equation*} \begin{split} x & \equiv a_{1} \pmod{m_{1}}, \\ x & \equiv a_{2} \pmod{m_{2}}, \\ & \cdots\cdots, \\ x & \equiv a_{n} \pmod{m_{n}} \end{split} \end{equation*} は, 積 $m_{1}m_{2}\cdots m_{n}$ を法としてただ1つの整数解をもつことを証明せよ.

Keywords: 中国剰余定理

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[q201110260900]  $p$ を素数とするとき, 合同式 $$ (p-1)! \equiv -1\pmod{p} $$ が成り立つことを証明せよ.

Keywords: Wilson の定理, ウィルソンの定理

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[q201110261000]  $a\geq 2$ を整数とするとき, 合同式 $$ (a-1)! \equiv -1\pmod{a} $$ が成り立てば, $a$ は素数であることを証明せよ.

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