解答例 1

$a=1$ のとき, $$ \sum_{d\mid a}\mu(d) = \mu(1) = 1. $$

$a>1$ のとき, $$ a = p_{1}^{e_{1}}p_{2}^{e_{2}}\cdots p_{r}^{e_{r}} $$ と素因数分解すれば, $a$ の約数 $d$ は $$ d = p_{1}^{f_{1}}p_{2}^{f_{2}}\cdots p_{r}^{f_{r}},\quad 0\leq f_{i}\leq e_{i} $$ と表せる. $f_{1}$, $f_{2}$, $\ldots$, $f_{r}$ の中に $1$ より大きいものが存在すれば, $\mu(d)=0$ である. よって, \begin{align*} \sum_{d\mid a}\mu(d) &= \mu(1) + \sum_{i=1}^{r}\mu(p_{i}) + \sum_{i<j}\mu(p_{i}p_{j}) + \sum_{i<j<k}\mu(p_{i}p_{j}p_{k}) \\ &\qquad + \cdots + \mu(p_{1}p_{2}\cdots p_{r}) \\ &= 1 - r + \binom{r}{2} - \binom{r}{3} + \cdots + (-1)^{r} \\ &= (1-1)^{r} = 0. \end{align*}

最終更新日：2011年11月02日