解答例 1

$\mathbb{Z}^{+}$ を正の整数全体とする.

$F(n)$ が乗法的であると仮定する. $a$, $b\in\mathbb{Z}^{+}$ とし, $\gcd(a, b)=1$ であるとする. このとき, \begin{align*} G(ab) &= \sum_{d\mid ab}F(d) \\ &= \sum_{d_{1}\mid a}\sum_{d_{2}\mid b}F(d_{1}d_{2}) \\ &= \sum_{d_{1}\mid a}\sum_{d_{2}\mid b}F(d_{1})F(d_{2}) \\ &= \left( \sum_{d_{1}\mid a}F(d_{1}) \right)\left( \sum_{d_{2}\mid b}F(d_{2}) \right) \\ &= G(a)G(b). \end{align*} ゆえに, $G(n)$ は乗法的である.

逆に, $G(n)$ が乗法的であると仮定する. $a$, $b\in\mathbb{Z}^{+}$ とし, $\gcd(a, b)=1$ であるとする. Möbius の反転公式 $$ F(n) = \sum_{d\mid n}\mu\left(\frac{n}{d}\right)G(d) $$ より, \begin{align*} F(ab) &= \sum_{d\mid ab}\mu\left(\frac{ab}{d}\right)G(d) \\ &= \sum_{d_{1}\mid a}\sum_{d_{2}\mid b}\mu\left(\frac{ab}{d_{1}d_{2}}\right)G(d_{1}d_{2}) \\ &= \sum_{d_{1}\mid a}\sum_{d_{2}\mid b} \mu\left(\frac{a}{d_{1}}\right)\mu\left(\frac{b}{d_{2}}\right)G(d_{1})G(d_{2}) \\ &= \left( \sum_{d_{1}\mid a}\mu\left(\frac{a}{d_{1}}\right)G(d_{1}) \right) \left(\sum_{d_{2}\mid b}\mu\left(\frac{b}{d_{2}}\right)G(d_{2}) \right) \\ &= F(a)F(b). \end{align*} ゆえに, $F(n)$ は乗法的である.

最終更新日：2011年11月02日