行列 $A=\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}$ に対して, $\det A=ad-bc$ とおく. $A$, $B$ を $2$ 次の正方行列とし, $A\neq O$, $B\neq O$ とする. このとき, $AB=O$ ならば $\det A=\det B=0$ であることを示せ.
解答例 1
背理法で証明する.
$\det A\neq 0$ と仮定すると, $A$の逆行列$A^{-1}$ が存在する. $AB=O$ の両辺に左から $A^{-1}$ を掛けると, $$ A^{-1}AB=A^{-1}O, \quad\mbox{ゆえに},\quad B=O. $$ これは $B\neq O$ に矛盾する. よって $\det A=0$ でなければならない.
また, $\det B\neq 0$ と仮定すると, $B$ の逆行列 $B^{-1}$ が存在する. $AB=O$ の両辺に右から $B^{-1}$ を掛けると, $$ ABB^{-1}=OB^{-1},\quad\mbox{ゆえに},\quad A=O. $$ これは $A\neq O$ に矛盾する. よって $\det B=0$ でなければならない.
以上より, $\det A=\det B=0$ が示された.
最終更新日：2011年11月02日