行列 $A=\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}$ に対して, $\det A=ad-bc$ とおく.
$A$, $B$ を $2$ 次の正方行列とする.
(i) $\det(AB)=\det A\det B$ を証明せよ.
(ii) $\det A\neq 0$ のとき, $\displaystyle \det A^{-1}=\frac{1}{\det A}$ を証明せよ.
(iii) $\det(P^{-1}AP)=\det A$ を証明せよ. ただし, $P$ は $2$ 次の正方行列で, 逆行列 $P^{-1}$ をもつとする.
解答例 1
$A=\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}$, $B=\begin{pmatrix} e & f \\ g & h \end{pmatrix}$ とおく.
(i) $AB=\begin{pmatrix} ae+bg & af+bh \\ ce+dg & cf+dh \end{pmatrix}$ より, \begin{equation*} \begin{split} \det(AB) &= (ae+bg)(cf+dh)-(af+bh)(ce+dg) \\ &= acef+adeh+bcfg+bdgh-(acef+adfg+bceh+bdgh) \\ &= adeh-adfg-bceh+bcfg, \\ \det A\det B &= (ad-bc)(eh-fg) \\ &= adeh-adfg-bceh+bcfg. \end{split} \end{equation*} ゆえに, $\det(AB)=\det A\det B$.
(ii) $AA^{-1}=E$ だから, (i) より, $$ \det A\det A^{-1} = \det(AA^{-1})=\det E = 1. $$ ゆえに, $\displaystyle\det A^{-1}=\frac{1}{\det A}$.
(iii) (i), (ii) を用いて計算すると, \begin{equation*} \begin{split} \det(P^{-1}AP) &= \det P^{-1}\det A\det P \\ &= \det A\det P^{-1}\det P \\ &= \det A. \end{split} \end{equation*}
解答例 2
(ii) $\displaystyle A^{-1} = \frac{1}{\det A} \begin{pmatrix} d & -b \\ -c & a \end{pmatrix}$ より, $$ \det A^{-1} = \frac{d}{\det A}\cdot\frac{a}{\det A} -\biggl(-\frac{b}{\det A}\biggr)\cdot\biggl(-\frac{c}{\det A}\biggr) = \frac{\det A}{(\det A)^2} = \frac{1}{\det A}. $$
最終更新日：2011年11月02日