行列 $A=\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}$ に対して, $\mathop{\mathrm{tr}}A=a+d$ とおく.
$A$, $B$ を $2$ 次の正方行列とする.
(i) $\mathop{\mathrm{tr}}(A+B)=\mathop{\mathrm{tr}}A+\mathop{\mathrm{tr}}B$ を証明せよ.
(ii) $\mathop{\mathrm{tr}}(kA)=k\cdot\mathop{\mathrm{tr}}A$ を証明せよ. ただし, $k$ は実数であるとする.
(iii) $\mathop{\mathrm{tr}}(AB)=\mathop{\mathrm{tr}}(BA)$ を証明せよ.
(iv) $\mathop{\mathrm{tr}}(P^{-1}AP)=\mathop{\mathrm{tr}}A$ を証明せよ. ただし, $P$ は $2$ 次の正方行列で, 逆行列 $P^{-1}$ をもつとする.
解答例 1
$A=\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}$, $B=\begin{pmatrix} e & f \\ g & h \end{pmatrix}$ とおく.
(i) $A+B=\begin{pmatrix} a+e & b+f \\ c+g & d+h \end{pmatrix}$ より, \begin{equation*} \begin{split} \mathop{\mathrm{tr}}(A+B) &= (a+e)+(d+h) \\ &= (a+d)+(e+h) \\ &= \mathop{\mathrm{tr}}(A)+\mathop{\mathrm{tr}}(B). \\ \end{split} \end{equation*}
(ii) $kA=\begin{pmatrix} ka & kb \\ kc & kd \end{pmatrix}$ より, \begin{equation*} \begin{split} \mathop{\mathrm{tr}}(kA) &= ka+kd = k(a+d) \\ &= k\cdot\mathop{\mathrm{tr}}(A). \\ \end{split} \end{equation*}
(iii) $AB=\begin{pmatrix} ae+bg & af+bh \\ ce+dg & cf+dh \end{pmatrix}$, $BA=\begin{pmatrix} ea+fb & eb+fd \\ ga+hc & gb+hd \end{pmatrix}$ より, \begin{equation*} \begin{split} \mathop{\mathrm{tr}}(AB) &= (ae+bg)+(cf+dh) \\ &= (ea+fc)+(gb+hd) \\ &= \mathop{\mathrm{tr}}(BA). \end{split} \end{equation*}
(iv) (iii) を用いて計算すると, \begin{equation*} \begin{split} \mathop{\mathrm{tr}}(P^{-1}AP) &= \mathop{\mathrm{tr}}(P^{-1}(AP)) = \mathop{\mathrm{tr}}((AP)P^{-1}) \\ &= \mathop{\mathrm{tr}}(A(PP^{-1})) = \mathop{\mathrm{tr}}(AE) \\ &= \mathop{\mathrm{tr}}(A). \end{split} \end{equation*}
最終更新日：2011年11月02日