$$ \newcommand\bm[1]{\boldsymbol{#1}} \renewcommand\limsup{\varlimsup} \renewcommand\liminf{\varliminf} $$

行列 $A=\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}$ に対して, $\mathop{\mathrm{tr}} A=a+d$ とおく.

$2$ 次の正方行列 $A$ について, $\mathop{\mathrm{tr}} A=\mathop{\mathrm{tr}} A^2=0$ ならば $A=O$ であることを証明せよ.

解答例 1

$\mathop{\mathrm{tr}} A=0$ より, $$ A=\begin{pmatrix} a & b \\ c & -a \end{pmatrix} $$ とおくことができる. よって, $$ A^2 = \begin{pmatrix} a & b \\ c & -a \end{pmatrix} \begin{pmatrix} a & b \\ c & -a \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a^2+bc & 0 \\ 0 & a^2+bc \end{pmatrix}. $$ $\mathop{\mathrm{tr}} A^2=0$ より, $$ 2(a^2+bc) = 0,\quad \mbox{ゆえに},\quad a^2+bc=0. $$ したがって, $A=O$.

最終更新日:2011年11月02日

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