行列 $A=\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}$ に対して, $\mathop{\mathrm{tr}} A=a+d$ とおく.
$2$ 次の正方行列 $A$ について, $\mathop{\mathrm{tr}} A=\mathop{\mathrm{tr}} A^2=0$ ならば $A=O$ であることを証明せよ.
解答例 1
$\mathop{\mathrm{tr}} A=0$ より, $$ A=\begin{pmatrix} a & b \\ c & -a \end{pmatrix} $$ とおくことができる. よって, $$ A^2 = \begin{pmatrix} a & b \\ c & -a \end{pmatrix} \begin{pmatrix} a & b \\ c & -a \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a^2+bc & 0 \\ 0 & a^2+bc \end{pmatrix}. $$ $\mathop{\mathrm{tr}} A^2=0$ より, $$ 2(a^2+bc) = 0,\quad \mbox{ゆえに},\quad a^2+bc=0. $$ したがって, $A=O$.
最終更新日：2011年11月02日