$2$次正方行列 $A$, $B$ に対して $[A,B]=AB-BA$ と定める. このとき, 任意の $2$ 次正方行列 $A$, $B$, $C$ に対して $$ [A,[B,C]]+[B,[C,A]]+[A,[B,C]]=O $$ が成り立つことを確かめよ.
解答例 1
\begin{equation*} \begin{split} {[A,[B,C]]} &= A(BC-CB)-(BC-CB)A \\ &= ABC-ACB-BCA+CBA, \\ {[B,[C,A]]} &= B(CA-AC)-(CA-AC)B \\ &= BCA-BAC-CAB+ACB, \\ {[C,[A,B]]} &= C(AB-BA)-(AB-BA)C \\ &= CAB-CBA-ABC+BAC. \end{split} \end{equation*} ゆえに, \begin{equation*} \begin{split} &[A,[B,C]]+[B,[C,A]]+[C,[A,B]] \\ &=(ABC-ACB-BCA+CBA) \\ &\qquad+(BCA-BAC-CAB+ACB) \\ &\qquad\qquad+(CAB-CBA-ABC+BAC) \\ &=(ABC-ABC)+(ACB-ACB)+(BCA-BCA) \\ &\qquad+(BAC-BAC)+(CAB-CAB)+(CBA-CBA) \\ &= O. \end{split} \end{equation*}
最終更新日：2011年11月02日