$A=\begin{pmatrix} a & b \\ 0 & c \end{pmatrix}\,(a\neq c)$ とする. また, 自然数 $n$ に対して $\displaystyle b_n=b\cdot \frac{a^n-c^n}{a-c}$ とおく.
(i) すべての自然数 $n$ に対して $$ b_{n+1} = a^nb+b_nc = ab_n+c^nb $$ が成り立つことを証明せよ.
(ii) すべての自然数 $n$ に対して \begin{equation} A^n=\begin{pmatrix} a^n & b_n \\ 0 & c^n \end{pmatrix} \tag{$*$} \end{equation} が成り立つことを証明せよ.
解答例 1
(i) \begin{equation*} \begin{split} a^nb+b_nc &= a^nb+b\cdot\frac{a^{n}-c^{n}}{a-c}\cdot c \\ &= b\cdot\frac{a^{n}(a-c)+a^{n}c-c^{n+1}}{a-c} \\ &= b\cdot\frac{a^{n+1}-c^{n+1}}{a-c} \\ &= b_{n+1}. \end{split} \end{equation*} 同様に, \begin{equation*} \begin{split} ab_n+c^nb &= ab\cdot\frac{a^{n}-c^{n}}{a-b}+c^nb \\ &= b\cdot\frac{a^{n+1}-ac^{n}+c^n(a-c)}{a-c} \\ &= b\cdot\frac{a^{n+1}-c^{n+1}}{a-c} \\ &= b_{n+1}. \end{split} \end{equation*}
(ii) $n$ に関する数学的帰納法により証明する.
$n=1$ のとき, $$ a^1=a,\quad c^1=c,\quad b_1=b\cdot\frac{a^1-c^1}{a-c}=b\cdot\frac{a-c}{a-c}=b $$ となるから, ($*$) は成り立つ.
一般に, $n=k$ のとき ($*$) が成り立つと仮定すると, $$ A^{k+1} =A^kA =\begin{pmatrix} a^k & b_k \\ 0 & c^k \end{pmatrix} \begin{pmatrix} a & b \\ 0 & c \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} a^{k+1} & a^kb+b_kc \\ 0 & c^{k+1} \end{pmatrix}. $$ (i) より, $a^kb+b_kc=b_{k+1}$ であるから, $$ A^{k+1}=\begin{pmatrix} a^{k+1} & b_{k+1} \\ 0 & c^{k+1} \end{pmatrix}. $$ したがって, $n=k+1$ のときも ($*$) が成り立つ.
以上より, すべての自然数 $n$ に対して ($*$) は成り立つ.
最終更新日：2011年11月02日